十字交叉法的妙用

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　　十字交叉法是数学运算中一种经典的技巧，很多题目应用十字交叉法解题能够简化运算过程。什么是十字交叉法?我们以下面一个例子引入：

　　某中学分为小学和初中两个分部，已知全校男生人数占全校总人数的30%，且小学部男生占小学部人数的25%，初中部男生占初中部人数的40%，问小学和初中总人数之比为多少?

　　由于全校男生总人数由小学部男生人数和初中部男生人数共同构成，我们可以列出以下等量关系式：小学总人数*25%+初中总人数*40% =(小学总人数+初中总人数)*30%,将等式化简为：

　

　　本题的解法实际是用了十字交叉法，这种方法实际是一种简化方程的形式，凡是符合如下方程的形式(前提条件)：

　　

　　都可以使用如下“十字交叉”的形式来简化，帮助我们快速解题。

　　

　　十字交叉法应用的题型比较多，不仅可以应用在数量关系题目中，例如溶液问题，经济利润问题，工程问题，年龄问题等，也可以应用于资料分析题目当中，例如求混合增长率的题目，接下来以几个例子来具体讲解。

　　例题1(应用于溶液问题当中)：现有含盐20%的盐水500克，要把它变成含盐15%的盐水，应加入5%的盐水多少克?( )

　　A.200 B.250

　　C.350 D.500

　　本题属于溶液混合的问题，我们可以列出下面的等量关系式：

  ，满足十字交叉法的应用条件，我们可以采用十字交叉解题：

 

　　解得x=250，选择B选项。十字交叉法经常运用于溶液问题中的溶液混合问题，当我们碰到此类问题时，无需列式，直接带入十字交叉法的形式即可。

　　例题2(应用于工程问题当中)：一只松鼠采松籽，晴天每天采24个，雨天每天采16个，它一连几天共采168个松籽，平均每天采21个，这几天当中晴天有几天?( )

　　A.3 B.4

　　C.5 D.6

　　这是一道工程问题，根据工程问题的核心公式，总量=效率*时间，我们可以列出如下等量关系式：晴天效率*晴天天数+阴天效率*阴天天数=(晴天天数+阴天天数)*总效率，满足十字交叉法的应用条件，我们可以采用十字交叉解题：

　　

　　根据数字特性可知，晴天是5的倍数，选择C选项。当碰到一项工程需要两个个体合作完成时，我们可以考虑使用十字交叉法。

　　例题3(应用于经济利润问题当中)：某养鸡场计划购买甲、乙两种小鸡苗共2000只进行饲养，已知甲种小鸡苗每只2元，乙种小鸡苗每只3元。相关资料表明：甲、乙两种小鸡苗的成活率分别为94%和99%。若要使这批小鸡苗的成活率不低于96%，且买小鸡苗的总费用最小，则应选购甲、乙两种小鸡苗各有?( )

　　A.500只、1500只 B.800只、1200只

　　C.1100只、900只 D.1200只、800只

　　本题属于经济利润问题，要使总费用最小，那么尽可能选购便宜的甲种小鸡苗，但甲种小鸡苗成活率比较低，多购买甲种小鸡苗，意味着拉低了整体存活率，又已知整体成活率不低于96%，因此当整体存活率为96%时，总费用最小，可以列出如下等量关系式：甲种小鸡苗*甲种小鸡苗的存活率+乙种小鸡苗*乙种小鸡苗的存活率=(甲种小鸡苗+乙种小鸡苗)*整体存活率，满足十字交叉法的应用条件，我们可以采用十字交叉解题：

　　应选购甲种小鸡苗和乙种小鸡苗的比例为3:2，只有D选项符合，选择D选项。十字交叉法在经济利润问题中的应用比较多，碰到经济利润的问题时，可以考虑使用十字交叉法。

　　例题4(应用于年龄问题当中)：某单位共有A、B、C三个部门，三部门人员平均年龄分别为38岁、24岁、42岁。A和B两部门人员平均年龄为30岁，B和C两部门人员平均年龄为34岁。该单位全体人员的平均年龄为多少岁?( )

　　A.34 B.36

　　C.35 D.37

　　本题属于年龄问题，根据题干可以列出两个恒等式，A部门人数*A部门平均年龄+B部门人数*B部门平均年龄=(A部门人数+ B部门人数)*AB两部门平均年龄，B部门人数*B部门平均年龄+C部门人数*C部门平均年龄=(B部门人数+ C部门人数)*BC两部门平均年龄，满足十字交叉法的应用条件，我们可以使用两次十字交叉解题：

　　由于A：B=3:4，B：C=4:5则A：B：C=3:4:5，赋值A、B、C部门的人数分别为3、4、5人，则平均年龄=(3×38+4×24+5×42)÷(3+4+5)=35。因此，答案选择C选项。

　　例题5(应用于资料分析当中)：

　　2015年上半年全国水产品产量2700.09万吨，同比增长3.20%，其中养殖水产品产量2114.38万吨，同比增长4.13%。

　　2015年上半年，非养殖水产品产量与上年同期相比的变化最接近以下哪个数字?( )。

　　A. -20% B. 0%

　　C. 5% D. 10%

　　已知水产品和养殖水产品的现期量和同比增长率，让我们求非养殖水产品的同比增长率，根据水产品可以分为养殖水产品和非养殖水产品，定位为这是一道混合增长率的题目，根据混合增长率的做题方法，第一条原则为：整体增长率居于两个部分增长率之间，

  ，排除选项C，D;第二条原则为：整体增长率偏向于基期值大的一方，发现无论选择A还是B，水产品的增长率都偏向于非养殖水产品增长率，因此无法排除选项，这时我们考虑两部分混合增长率的等式:部分1的基期值*部分1的增长率+部分2的基期值*部分2的增长率=整体基期值*整体增长率，满足十字交叉法的应用条件，我们可以采用十字交叉解题，观察选项,B选项为特殊值0%，不妨带入可得：  

 

　　B选项满足题意，可知选择B选项。当我们碰到求解混合增长率的题目时，如果使用两条原则不能选出答案，可以考虑使用十字交叉法。当十字交叉法应用于资料分析时，等量关系式中的A和B相当于两个部分的基期值，a%和b%相当于两个部分的增长率，r相当于整体增长率。

　　通过以上几道例题，我们可以总结出十字交叉法不仅可以应用于数量关系，还可以应用于资料分析，应用此技巧方法的前提是题干可以列出类似下面的等量关系式：

  ，当题干中可以列出这样的等量关系式时，可以考虑使用十字交叉来解题。 （编辑：张晓光）