不定方程中的小精灵——数字“5”的妙用

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　　方程问题是我们求解数学运算过程的第一方法，因为适用面广，操作简单，因此可以用方程解决大多数类型的习题。但是当未知数个数多于方程个数的时候，就会形成不定方程，被很多学生戏称为搞不定的方程，因为无法直接通过常规的求解得出答案，那么常规的解决不定方程的思路就是通过带入排除法进行求解，但是有些题目用带入排除法求解会比较麻烦，这个时候就要考虑用到数字特性和奇偶特性等思路来解决或许会更加方便快捷，比如说以下这道例题。

　　【例题1】超市将117个橙子装进两种包装袋，大包装袋每个装14个橙子，小包袋盒每个装5个橙子，共用了几个袋子刚好装完。问两种包装盒相差多少个( )

　　A.5 B.6

　　C.7 D.12

　　【答案】C

　　【解析】设大盒x个，小盒y个，得到14x+5y=117;5y的尾数只能为0或者5，当尾数为0时，5y为偶数，且14x为偶数，它们之和无法得到117;则5y的尾数为5，14x的尾数只能为2，只能让x=3或x=8;当x=3时，y=15，不符合几个袋子的条件，排除该情况;因此只能是x=8，y=1。相差7个，答案选择C。

　　这道题目给出了两个未知数，但是却只能列出一个式子，标准的不定方程问题。首先想到的是带入排除，但是带入排除的话就存在这么一个问题，那就是问题的问法并不是某种袋子有多少个，而是两种袋子相差多少个，要代入排除的话那么就只能代x-y=?，或者y-x=?，然后形成两个二元一次方程进行求解，如果运气不好，可能还要到代三个选项，大大增加了运算量和运算时间。因此这道题目通过数字特性，以5为切入点，因为5乘任何数的尾数只能是0或者5，而0为偶数5为奇数，那么就可以结合前面式子的奇偶性快速锁定尾数出现的可能性，从而推出了两种袋子的数量。这种方法在解决很多不定方程时有着非常广泛的应用，那我们再来看一道例题。

　　【例题2】共有19个零件交给小张手工制作完成，规定制作的零件每合格一个得5元，不合格一个扣2元，未完成的不得不扣，最后小张共收到56元，那么他制作的零件中，不合格的共有( )个。

　　A.2 B.3

　　C.5 D.7

　　【答案】A

　　【解析】设合格的玩具有x个，不合格y个，未完成的和总价格没有关系，可得5x-2y=56。可得答案为偶数，且2y为偶数，那么5x也只能是偶数，可得5x的尾数是0，则2y的尾数只能是4，符合条件的选项有A和D。但是当y=7时，x=14，x+y=21>19，不符合共有19个零件的条件;因此只能是y=2，x=12，正确答案为A。

　　这两道题目都是一个二元一次不定方程，并且都是以数字5为切入点，结合奇偶特性快速的排除选项推出答案的。有这么几个数字其实都是很有妙用的，必须铭记于心，比如偶数乘任何数都是偶数;一个多位数，如果各个位数之和能被3整除，那么这个多位数就能被3整除;一个多位数的末两位如果能够被4整除，那么这个多位数就能被4整除;当然还有我们的小精灵“5”的妙用，都会在计算中为大家省去不少时间，同学们一定要耳熟于心。