调和平均数巧解比例问题

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比例问题往往都是看似简单，但是在实际做题中，如果发现有些题目很难快速用一些分数、比例、百分数的整除倍数特性解决的话往往会非常的棘手，但是如果根据题目的已知条件，将题目看成类似溶液问题的题目，利用调和平均数，也就是大家常听过的十字相乘法来解决的话，那将会非常的方便快捷，那么我们一起来看看调和平均数能够在哪些比例问题中得到出色的应用吧。
【例题1】某高校艺术学院分音乐系和美术系两个系别，已知学院男生人数占人数的30％，且音乐系男女生人数之比为1:3，美术系男女生人数之比为2:3，问音乐系和美术系的总人数之比为多少（    ）
A.5:2B.5:1
C.3:1D.2:1
【答案】D
【解析】音乐系男女生人数之比为1:3，可得出音乐系男生占该系总人数的1/4，而美术系男女生人数之比为2:3，可得出美术系男生占该系总人数的2/5，而目标比例为男生人数为3/10，应用调和平均数:  1/4                        1/10
                                   3/10
                       2/5                       1/20
则音乐系和美术系的总人数比例为1/10：1/20=2：1，答案选D。             
按照常规思路，这道题其实可以按照方程法求解，设音乐系男生为x，美术系男生为2y，然后分别以男生和女生总人数为两个等量关系方程式进行求解x,y也是可以得出答案的。但是与其说需要解两个方程求两个未知数，也不难看出调和平均数这样的方法解这道题目会更加的快捷。所谓调和平均数，就是分别将两个系的男生近似的看成两组溶液，浓度就是男生占总人数的比重，音乐系为25%，美术系为40%，而目标浓度是30%，然后通过十字相乘分别和两组浓度斜线做差，即可得出两种溶液的量的比例关系。在上方的数字就是音乐系男生的总数比例，而下方的则为美术系总数比例，最终通过一个简单的比值关系得出两个系总人数的比例，那我们再来看一道例题。
 
【例题2】烧杯中装了100克浓度为10%的盐水，每次向该烧杯中加入不超过50克浓度为40%的盐水，问最少加多少次之后，烧杯中的盐水浓度能达到30%？（假设烧杯中盐水不会溢出）（    ）
A.6B.5
C.4D.3
【答案】C
【解析】运用十字交叉法，可得： 10%                       10%
                                            30%
                               40%                       20%
则10%的溶液和40%的溶液量比例关系为1：2，10%的溶液为100克，则40%的溶液为200克，200÷50=4，则至少需要4次。选择C。
这两道题目都是用调和平均数十字相乘法进行求解的，说明这种方法不仅适用于常规的溶液问题，只要是知道了两个部分的比重和一个整体的比重，很容易就可以得出两个部分量的比例，同理，如果能够知道两个量的比例，也可以得出相应浓度的比例，因此只要熟练的应用，能够快速解出很多比例问题。
 
比例问题往往都是看似简单，但是在实际做题中，如果发现有些题目很难快速用一些分数、比例、百分数的整除倍数特性解决的话往往会非常的棘手，但是如果根据题目的已知条件，将题目看成类似溶液问题的题目，利用调和平均数，也就是大家常听过的十字相乘法来解决的话，那将会非常的方便快捷，那么我们一起来看看调和平均数能够在哪些比例问题中得到出色的应用吧。
【例题1】某高校艺术学院分音乐系和美术系两个系别，已知学院男生人数占人数的30％，且音乐系男女生人数之比为1:3，美术系男女生人数之比为2:3，问音乐系和美术系的总人数之比为多少（    ）
A.5:2B.5:1
C.3:1D.2:1
【答案】D
【解析】音乐系男女生人数之比为1:3，可得出音乐系男生占该系总人数的1/4，而美术系男女生人数之比为2:3，可得出美术系男生占该系总人数的2/5，而目标比例为男生人数为3/10，应用调和平均数:  1/4                        1/10
                                   3/10
                       2/5                       1/20
则音乐系和美术系的总人数比例为1/10：1/20=2：1，答案选D。             
按照常规思路，这道题其实可以按照方程法求解，设音乐系男生为x，美术系男生为2y，然后分别以男生和女生总人数为两个等量关系方程式进行求解x,y也是可以得出答案的。但是与其说需要解两个方程求两个未知数，也不难看出调和平均数这样的方法解这道题目会更加的快捷。所谓调和平均数，就是分别将两个系的男生近似的看成两组溶液，浓度就是男生占总人数的比重，音乐系为25%，美术系为40%，而目标浓度是30%，然后通过十字相乘分别和两组浓度斜线做差，即可得出两种溶液的量的比例关系。在上方的数字就是音乐系男生的总数比例，而下方的则为美术系总数比例，最终通过一个简单的比值关系得出两个系总人数的比例，那我们再来看一道例题。
 
【例题2】烧杯中装了100克浓度为10%的盐水，每次向该烧杯中加入不超过50克浓度为40%的盐水，问最少加多少次之后，烧杯中的盐水浓度能达到30%？（假设烧杯中盐水不会溢出）（    ）
A.6B.5
C.4D.3
【答案】C
【解析】运用十字交叉法，可得： 10%                       10%
                                            30%
                               40%                       20%
则10%的溶液和40%的溶液量比例关系为1：2，10%的溶液为100克，则40%的溶液为200克，200÷50=4，则至少需要4次。选择C。
这两道题目都是用调和平均数十字相乘法进行求解的，说明这种方法不仅适用于常规的溶液问题，只要是知道了两个部分的比重和一个整体的比重，很容易就可以得出两个部分量的比例，同理，如果能够知道两个量的比例，也可以得出相应浓度的比例，因此只要熟练的应用，能够快速解出很多比例问题。
 

　　比例问题往往都是看似简单，但是在实际做题中，如果发现有些题目很难快速用一些分数、比例、百分数的整除倍数特性解决的话往往会非常的棘手，但是如果根据题目的已知条件，将题目看成类似溶液问题的题目，利用调和平均数，也就是大家常听过的十字相乘法来解决的话，那将会非常的方便快捷，那么我们一起来看看调和平均数能够在哪些比例问题中得到出色的应用吧。

　　【例题1】某高校艺术学院分音乐系和美术系两个系别，已知学院男生人数占人数的30%，且音乐系男女生人数之比为1:3，美术系男女生人数之比为2:3，问音乐系和美术系的总人数之比为多少( )

　　A.5:2 B.5:1

　　C.3:1 D.2:1

　　【答案】D

　　

    【解析】音乐系男女生人数之比为1:3，可得出音乐系男生占该系总人数的1/4，而美术系男女生人数之比为2:3，可得出美术系男生占该系总人数的2/5，而目标比例为男生人数为3/10，应用调和平均数: 1/4 1/10

 

　　

    3/10

 

　　2/5 1/20

　　则音乐系和美术系的总人数比例为1/10：1/20=2：1，答案选D。

　　按照常规思路，这道题其实可以按照方程法求解，设音乐系男生为x，美术系男生为2y，然后分别以男生和女生总人数为两个等量关系方程式进行求解x,y也是可以得出答案的。但是与其说需要解两个方程求两个未知数，也不难看出调和平均数这样的方法解这道题目会更加的快捷。所谓调和平均数，就是分别将两个系的男生近似的看成两组溶液，浓度就是男生占总人数的比重，音乐系为25%，美术系为40%，而目标浓度是30%，然后通过十字相乘分别和两组浓度斜线做差，即可得出两种溶液的量的比例关系。在上方的数字就是音乐系男生的总数比例，而下方的则为美术系总数比例，最终通过一个简单的比值关系得出两个系总人数的比例，那我们再来看一道例题。

　　【例题2】烧杯中装了100克浓度为10%的盐水，每次向该烧杯中加入不超过50克浓度为40%的盐水，问最少加多少次之后，烧杯中的盐水浓度能达到30%?(假设烧杯中盐水不会溢出)( )

　　A.6 B.5

　　C.4 D.3

　　【答案】C

　　

    【解析】运用十字交叉法，可得： 10% 10%

 

　　

    30%

 

　　40% 20%

　　则10%的溶液和40%的溶液量比例关系为1：2，10%的溶液为100克，则40%的溶液为200克，200÷50=4，则至少需要4次。选择C。

　　这两道题目都是用调和平均数十字相乘法进行求解的，说明这种方法不仅适用于常规的溶液问题，只要是知道了两个部分的比重和一个整体的比重，很容易就可以得出两个部分量的比例，同理，如果能够知道两个量的比例，也可以得出相应浓度的比例，因此只要熟练的应用，能够快速解出很多比例问题。

　　

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