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    公考行测数量新动向——容斥问题的极值构造

    2017-05-16 16:32 山西人事考试网 http://sx.huatu.com/ 文章来源:山西华图评论

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      距离2017年国考的时间仅剩33天,熟练、精确地把握考试中的各种题型是获得一个高分的前提和基础。本文将重点研究在公务员考试中一个高频考点容斥问题的极值构造,以此和大家分享。

      所谓“极值问题”就是通常说的最大值,最小值的问题,题干中通常有“至少”,“至多”等题眼,解决这类问题通常有两种方法,一是极限思想,另一种就是逆向思维。我们通过以下几个例题详细介绍:

      【例1】某社团共有46人,其中35人爱好戏剧,30人爱好体育,38人爱好写作,40人爱好收藏,至少有几个4个活动都参加?

      【解析】逆向思维,分别考虑不喜欢其中某项活动的人数是多少,由题意可知,分别为11,16,8,6,只有当这四项集合互相没有交集的时候,四项活动都喜欢的人数才最少,因此最少人数为46-11-16-8-6=5

      【例2】参加某部门招聘考试的共有120人,考试内容共有6道题。1至6道题分别有86人,88人,92人,76人,72人和70人答对,如果答对3道题或3道以上的人员能通过考试,那么至少有多少人能通过考试?

      【解析】(极限思想):要使通过的人最少,那么就是对1道,2道的人最多,并且应该是对2道的人最多(这样消耗的总题目数最多),假设都只对了2道,那120人总共对了240道,而现在对了86+88+92+76+72+70=484,比240多了244道,每个人还可以多4道(这样总人数最少),244/4=61。

      (逆向思维):先算出来1-6题每题错的人数120-86=34 120-88=32 120-92=28 120-76=44 120-72=48 120-70=50 要使通过的人数最少,就是没通过的人数最多,让错的人都只错4道就错的人最多,总的错的题数为34+32+28+44+48+50=236236/4=59120-59=61

      (注意:算出来的值要跟上述的每一题做错的值相比,只有大于上述每一个值,才可以直接拿总数去减)

      【例3】一次考试共有五道试题,做对第1、2、3、4、5题的分别占考试人数的81%、91%、85%、79%、74%,如果做对三道或三道以上为及格,那么这次考试的及格率至少是多少?

      (参考例2的思维)100-81,91,85,79,74=19+9+15+21+26=90

      90/3=30,100-30=70。因为30>26(错的最多的题次),所以直接除以3。

      【例4】一次考试共有五道试题,做对1、2、3、4、5题的分别占考试人数的84%、88%、72%、80%、56%,如果做对三道或三道以上为及格,那么这次考试的及格率至少是多少?

      100-84,88,72,80,56=16+12+28+20+44=120,120/3=40,(16+12+28+20)/2=38,100-38=62

      【解析1】及格率至少多少,就是错的要最多,也就是错3道题目要最多。错的题目:16+12+28+20+44=120,120/3=40,考虑40<44,所以错的题目有多算了。所以:要错3题最多,则第五道题肯定要错,那么题目可以转化为:前四道题错2题的最多,即16+12+28+20=76,76/2=38,38<44。所以错三道最多为38%。那么及格率至少为1-38%=62%。(跟例2的解法作对比,掌握不同的处理方式)

      【解析2】假设这次考试有100人参加,那么五题分别做对的人数为84、88、72、80、56人。全班共做对84+88+72+80+56=380(题)。要求及格率最少,也就是让不及格人尽量的多,即仅做对两题的人尽量的多;要让及格的人尽量的少,也就是说共做对5题和共做对4题的人要尽量的多。我们可以先假设所有人都只做对两题,那么共做对100×2=200(题)。由于共做对5题的最多有56人,他们一共多做了56×3=168(题),这时还剩下 380-(200+168)=12(题)。因为做对4题的人要尽量的多,所以每2题分给一个人,可以分给12÷2=6(人),即最多6个人做对4题。加上做对5题的56人,那么及格的人最少有56+6=62(人),也就是及格率至少为62%。

      【例5】在阳光明媚的一天下午,甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水。已知甲浇了30盆,乙浇了75盆,丙浇了80盆,丁浇了90盆。请问:(1)恰好被3人浇过的花最少有多少盆?

      【解析】100盆花共被浇水275次,平均每盆被浇2.75次,那说明一定有一些花被浇3次或4次才可能使得平均数为2.75。要使被浇3次的花少,只需被浇4次 的花多即可,由于甲只浇了30盆,那么被浇4次的花最多只能有30盆。排除这30盆花,余下70盆被浇了155次,平均每盆被浇2.21次,为了接近总数 155次,我们假设70盆都被浇2次,那么共被浇140次,还少15次,我们只好让其中15盆花每盆再多浇一次。所以答案为15盆

      通过对以上真题的分析,可以看出,容斥问题的极值构造其实并不难,关键是要能够分析清楚题目当中的关键信息,然后按照题目特点进行推导就可以了。像容斥问题的极值构造这类试题,计算量不大,更多考查的是考生思维能力及对细节的把握。

      


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    (编辑:张晓光)

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