公考行测资料分析新动向——排列组合之插板法

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　　距离2017年国考的时间越来越近，熟练、精确地把握考试中的每一个知识点是获得一个高分的前提和基础。本文将对数量关系中必考题型排列组合常用的方法插板法做一个详细而具体的分析。

　　在排列组合中，最基本的两大原理包括加法原理和乘法原理。然而有三种特别常用的方法和技巧是比较关键的，主要有：捆绑法、插空法、插板法。这三种方法有具体的应用条件，在此，我们主要介绍插板法，同时也提醒考生注意其应用环境，尤其是与插空法的区别，一定要特别区分。

　　一、插板法

　　【精要】所谓插板法，指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比所需分组数目少 1 的板插入元素之间形成分组的解题策略。

　　【提醒】其首要特点是元素相同，其次是每组至少含有一个元素，一般用于组合问题中。

　　【例题1】将8 个完全相同的球放到 3 个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法?

　　【解析】解决这道问题只需要将 8 个球分成三组，然后依次将每一组分别放到一个盒子中即可。因此问题只需要把 8 个球分成三组即可，于是可以讲 8 个球排成一排，然后用两个板查到 8 个球所形成的空里，即可顺利的把 8 个球分成三组。其中第一个板前面的球放到第一个盒子中，第一个板和第二个板之间的球放到第二个盒子中，第二个板后面的球放到第三个盒子中去。 因为每个盒子至少放一个球， 因此两个板不能放在同一个空里且板不能放在两 端 ，于是其放板的方法数是 。(板也是无区别的)

　　【例题2】有 9 颗相同的糖，每天至少吃 1 颗，要 4 天吃完，有多少种吃法?

　　【解析】原理同上，只需要用 3 个板插入到 9 颗糖形成的 8 个内部空隙，将 9 颗糖分成 4组且每组数目不少于 1 即可。因而 3 个板互不相邻，其方法数为 。

　　【练习1】现有 10 个完全相同的篮球全部分给 7 个班级，每班至少 1 个球，问共有多少种不同的分法?

　　【注释】每组允许有零个元素时也可以用插板法，其原理不同，注意下题解法的区别。

　　【例题2】将 8 个完全相同的球放到 3 个不同的盒子中，一共有多少种方法?

　　【解析】此题中没有要求每个盒子中至少放一个球，因此其解法不同于上面的插板法，但仍旧是插入 2 个板，分成三组。但在分组的过程中，允许两块板之间没有球。其考虑思维为插入两块板后， 与原来的 8 个球一共 10 个元素。 所有方法数实际是这 10 个元素的一个队列，但因为球之间无差别，板之间无差别，所以方法数实际为从 10 个元素所占的 10 个位置中挑2 个位置放上 2 个板，其余位置全部放球即可。因此方法数为 。

　　【注释】特别注意插板法与捆绑法、插空法的区别之处在于其元素是相同的。

　　二、【应用1】某学校四、五、六三个年级组织了一场文艺演出，共演出18个节目，如果每个年级至少演出4个节目，那么这三个年级演出节目数的所有不同情况共有几种?

　　【解析】这个题目中是不考虑节目的不同性，可以视为18个相同的节目，发现3个年级都是需要至少4个节目以上，跟插板法的条件有出入，插板法的条件是至少1个，这个时候对比一下，我们就有了这样的思路 ，为什么我们不把18个节目中分别给这3个年级各分配3个节目。这样这3个班级就都少1个，从而满足至少1个的情况了，3×3=9 还剩下18-9=9个。剩下的9个节目就可以按照插板法来解答。 9个节目排成一排共计8个间隔。分别选取其中任意2个间隔就可以分成3份(班级)。 【应用2】有10个相同的小球。分别放到编号为1，2，3的盒子里 要使得每个盒子的小球个数不小于其编号数。那么有多少种放法?

　　【解析】还是同样的原理。 每个盒子至少的要求和插板法有出入 那么我们第一步就是想办法满足插板法的要求。编号1的盒子是满足的 至少需要1个，编号2至少需要2个，那么我们先给它1个， 这样就差1个，编号3至少需要3个，那么我们先给它2个， 这样就差1个。现在三个盒子都满足插板法的要求了 我们看还剩下几个小球 10-1-2=7。7个小球6个间隔 再按照插板法来做 以上就是为大家介绍的插板法的具体技巧，希望大家好好体会，熟练掌握。