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    余数问题解题方法(二)

    2015-04-02 10:34 山西人事考试网 http://sx.huatu.com/ 文章来源:互联网评论

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      对于部分余数问题可以结合代入排除思想或数字特性思想进行解题,但有的题目可能无法直接代入排除或是解题比较繁琐,通过学习对应的余数定理,针对前面存在的问题就可以迎刃而解。

      余数定理:余同加余,和同加和,差同减差,公倍数做周期

      1、余同:一个数除以几个不同的数,得到的余数相同

      此时该数可以表示为以最小公倍数作周期+相同的余数,即余同加余

      例:“一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1”,余数都为1,这个数可以表示为60n+1

      2、和同:一个数除以几个不同的数,得到的除数和余数的和相同

      此时该数可以表示为以最小公倍数作周期+相同的和数,即和同加和

      例:“一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1”,除数和余数的和都是7,这个数表示为60n+7

      3、差同:一个数除以几个不同的数,得到的除数和余数的差相同

      此时该数可以表示为以最小公倍数作周期-相同的差数,即差同减差

      例:“一个数除以4余2,除以5余3,除以6余4”,除数和余数的差都为2,这个数可以表示为60n-2

      通过学习掌握以上余数相关定理,遇到相关余数问题我们可以直接列表达式进行分析,下面通过例题来应用巩固。

      【例1】一个三位数除以9余7,除以5余2,除以4余3,这样的三位数共有( )。

      A.5个 B.6个

      C.7个 D.8个

      【解析】A。通过分析题干信息,后两个条件符合余数定理中和同的情况,则根据和同加和,通过除数5和4的最小公倍数及相同的和值7,可以表示出三位数为20n+7;进而结合第一个条件,符合余同的情况,通过除数20和9的最小公倍数及相同的余值7可以表示出三位数表达式为180n+7,则n可取1,2,3,4,5,对应的三位数为187,367,547,727,907。共有符合题意的5个三位数,即选A。

      【例2】文具店的圆珠笔每支4元,签字笔每支6元,钢笔每支7元。甲、乙、丙三人带的钱数相等且都不超过100元,三人分别购买一种笔。已知甲买完圆珠笔后还剩15元,乙买完签字笔后还剩21元,丙买完钢笔后还剩17元。如果三人的钱相加,最多能买多少只笔?

      A.60 B.65

      C.72 D.87

      【解析】B。乍一看题目跟余数定理无法联系,但通过分析发现甲、乙、丙三人买完笔后还有余额可以继续买笔。假设最初甲、乙、丙分别买对应笔x、y、z只,则对应的钱数分别为4x+15=6y+21=7z+17。将其对应的余额买笔则可表示为:4(x+3)+3=6(y+3)+3=7(z+2)+3。通过转换发现等式符合余数定理的余同情况,进而可以表示出相同额度的钱数为84n+3。而各自总额不超过100,因此n只能为1,分别有87元。要使三人钱数相加买最多数量的笔,则选择买最便宜的圆珠笔,能买到65只笔,即为B选项。

     

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    (编辑:小敏)

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