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  剩余定理是中国古代求解一次同余式组的方法,是数论中一个重要定理,又称孙子定理。

  公元前后的《孙子算经》中有"物不知数"问题:"今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余三,七七数之余二,问物几何?"答为"23"。明朝程大位用歌谣给出了该题的解法:"三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆月正半,除百零五便得知",到了18世纪高斯给出剩余定理这一概念,今天张老师带领大家了解一下剩余定理,从而摆脱各位同学之前只用枚举法的困境。

  剩余问题的解法:

  1.特殊情况

  记住口诀:余同加余、和同加和、差同减差。

  (1)余同加余

  【例题1】有一个数除以4余2,除以5余2,除以6余2,问这个数为多少?

  A.120 B.122C.121 D.123

  方法一:代入排除法

  方法二:由题意可知该除以4、5、6均余2,余数相同,属于余同,因此该数满足通项公式N=60n+2 ,(n=0,1,2,3……),当n=2时,N=122,选择B项。

  注:n前面的系数60是取4、5、6三个除数的最小公倍数。

  (2)和同(除数和余数的和相同)加和

  【例题2】某个数除以5余3,除以6余2,除以7余1,求在0至500内满足这样的自然数有多少个?

  A.3 B.2 C.4 D.5

  方法:此题我们通过观察会发现除数与余数的和相加均为8,则该自然数应满足N=210n+8(n=0,1,2……)因此在0至500以内满足题干条件的自然数有8,218,428三个数。

  注:n前面的系数210是取5、6、7三个除数的最小公倍数。

  (3)差同(除数与余数之差相同)减差

  【例题3】有一个数除以3余2,除以4余3,除以5余4,问此数为多少?

  A. 119 B. 121 C. 129 D. 131

  方法一:代入排除法(略)。

  方法二:通过观察我们会发现除数与余数的差均为1,因此此数满足N=60n-1(n=1,2,3……),可发现A项满足该通项公式。

  注:n前面的系数60是取3、4、5三个除数的最小公倍数

  2.一般情况

  【例题4】三位数的自然数P满足:除以3余2,除以7余3,除以11余4,则符合条件的自然数P有多少个?

  A.5 B. 4 C. 6 D. 7

  【解析】此题中既不余同,也不和同,也不差同,因此上面的特殊情况都不能用,口诀也无法用,但通过观察我们发现,P满足除以3余2,除以7余3两个条件时,在P的基础上加上 4,即(P+4)这个数一定是能够被3整除以及被7整除的,因此(P+4)=21n,所以P=21n-4……①,得到的这个通项公式再与除以11余4进行找通项公式。该自然数P=21n-4=11a+4,等式左边都是被11除,等式左边的余数为10n-4,等式右边的余数为4,我们知道一个数被11除余 4,也可以认为这个数被11除余15,或被11除余26等。根据同余特性可知,等式左边的余数10n-4应与等式右边的余数4,15,26等数值相等。因 为n要取整数,所以取10n-4=26可以得到n=3代入①式得到P=59,所求的59这个数是满足题干三个条件的最小数,所以,满足题干三个条件的数 P=231n+59(n=1,2,3……),所以在三位数以内的数有290,521,752,983四个数。选择B项。

  练习:一个自然数P同时满足除以3余1,除以4余3,除以7余4,求满足这样条件的三位数共有多少个?

  A.10 B.11 C.12 D.13

 

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(责任编辑:焦琦策)
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